Kolejność Wykonywania Działań – Jak w końcu to zrozumieć i przestać się bać?

Matematyczna trauma, którą wszyscy znamy

Pamiętam to jak dziś. Szkoła podstawowa, lekcja matematyki, a na tablicy ciąg znaków, który wyglądał jak zaszyfrowana wiadomość od kosmitów. Cyfry, plusy, minusy, jakieś nawiasy. I to pytanie nauczycielki: „No, kto policzy?”. W klasie cisza jak makiem zasiał. Każdy wbijał wzrok w zeszyt, modląc się, żeby tylko nie zostać wywołanym do odpowiedzi. Ja też. Bo cokolwiek bym nie zrobił, wynik zawsze wychodził inny niż ten w kluczu odpowiedzi. Raz dodawałem po kolei, raz mnożyłem, a efekt zawsze ten sam – czerwony długopis i poczucie, że z matmą to my się nigdy nie polubimy.

To uczucie bezradności wobec prostego, wydawałoby się, zadania, jest czymś, co łączy pokolenia uczniów. Ta frustracja, kiedy patrzysz na 2 + 2 * 2 i mózg ci podpowiada, że to przecież 8, a potem okazuje się, że jednak 6. Jak to?! Dlaczego?! To właśnie w tym momencie na scenę wchodzą one – owiane złą sławą, ale absolutnie niezbędne zasady kolejności wykonywania działań. To nie jest żadna czarna magia, tylko po prostu zbiór reguł, taka umowa między wszystkimi matematykami na świecie, żeby w tym całym liczeniu był jakikolwiek porządek. Bez nich, każdy liczyłby po swojemu i nigdy byśmy się nie dogadali.

Dlaczego bez zasad panowałby matematyczny chaos?

Wyobraź sobie, że budujesz dom z klocków, ale nie masz instrukcji. Kładziesz ściany, potem dach, a na końcu fundamenty. Co się stanie? Wszystko się zawali. W matematyce jest identycznie. Te reguły to właśnie taka instrukcja budowy poprawnego wyniku. Jeśli najpierw dodasz, kiedy trzeba było mnożyć, to tak jakbyś postawił dach bez ścian. Katastrofa gwarantowana.

Problem w tym, że nasz mózg lubi chodzić na skróty. A najprostszym skrótem jest czytanie i liczenie od lewej do prawej, tak jak czytamy książkę. Niestety, matematyka to nie beletrystyka, tutaj obowiązują inne prawa. Ktoś kiedyś musiał ustalić, co jest ważniejsze: mnożenie czy dodawanie? Co zrobić z nawiasami? Potęgi? Gdzie to wszystko wcisnąć? I tak powstały uniwersalne zasady kolejności wykonywania działań, które obowiązują tak samo w Polsce, w Japonii i na biegunie południowym. To jest, moi drodzy, fundament, bez którego cała reszta… no cóż, po prostu się wali. Zrozumienie tego to pierwszy krok, by w ogóle zacząć świadomą naukę matematyki.

Pomyśl o tym jak o przepisie na ciasto. Jeśli wrzucisz składniki w losowej kolejności, zamiast puszystego sernika wyjdzie ci zakalec. Musisz trzymać się receptury. A w matematyce recepturą są właśnie zasady kolejności wykonywania działań. One zapewniają, że każdy, kto podąża za tym samym przepisem, otrzyma identyczny, pyszny… to znaczy poprawny wynik.

Ta potrzeba standaryzacji nie wzięła się znikąd. Kiedyś, dawno temu, obliczenia były prostsze. Ale im bardziej matematyka się rozwijała, im bardziej skomplikowane stawały się wzory, tym większy robił się bałagan. Trzeba było to jakoś uporządkować. I dzięki temu dziś nie musimy się zastanawiać, czy 5 + 3 * 2 to 16 czy 11. Wiemy, że jest tylko jedna poprawna odpowiedź, a drogę do niej wskazują nam zasady kolejności wykonywania działań.

Ten jeden prosty trik, który zmienia wszystko

Dobra, koniec teorii. Jak to wszystko spamiętać? W szkole często rzucają nam suchą regułkę i każą się nauczyć. Ale ludzki umysł tak nie działa. Potrzebujemy czegoś, co nam pomoże to sobie poukładać. Na świecie popularne są skrótowce typu PEMDAS czy BODMAS. Brzmią obco, ale idea jest prosta. W Polsce możemy sobie stworzyć własny system. Pamiętam, jak kiedyś próbowałem to wytłumaczyć siostrzeńcowi i wymyśliliśmy zdanie: „Na Pewno Mama Dała Asi Obiad”. Może trochę głupie, ale działało!

Chodzi o to, żeby zapamiętać tę hierarchię ważności:

1. Nawiasy (Na) – To są absolutni szefowie. Co w nawiasie, robimy najpierw. Koniec, kropka.
2. Potęgowanie i pierwiastkowanie (Pewno) – To wiceprezesi. Ważni, zaraz po szefie.
3. Mnożenie i Dzielenie (Mama Dała) – To managerowie średniego szczebla. Są na tym samym poziomie, więc traktujemy ich po równo – liczymy od lewej do prawej, jak się pojawią.
4. Dodawanie i Odejmowanie (Asi Obiad) – To pracownicy szeregowi. Czekają grzecznie na swoją kolej na samym końcu i też działają od lewej do prawej.

To są te cztery kroki. Tylko cztery. Cała filozofia. Jeśli będziesz się tego trzymać, żadne działanie cię nie pokona. To jest właśnie ten moment, kiedy te zasady kolejności wykonywania działań ratują ci skórę. Zapamiętanie tej prostej hierarchii to klucz do sukcesu i do zrozumienia, o co w tym wszystkim chodzi.

Nawiasy – nietykalni władcy równania

Pomyśl o nawiasach jak o strefie VIP. Cokolwiek dzieje się w środku, ma bezwzględne pierwszeństwo. Reszta świata matematycznego musi poczekać. Nieważne, czy w środku jest proste dodawanie, czy skomplikowane potęgowanie – najpierw rozwiązujemy wnętrze nawiasu. A jeśli mamy nawias w nawiasie, czyli taką matrioszkę, np. { [ ( ) ] }, to zaczynamy od tego najmniejszego, w samym środku. Krok po kroku przebijamy się na zewnątrz. To fundamentalne, bo zasady kolejności wykonywania działań z nawiasami to absolutny priorytet.

• Weźmy takie coś: 10 - [2 * (4 - 1)]. Najpierw patrzymy w sam środek. Tam jest (4 - 1). Proste, to 3. Nasze działanie wygląda teraz tak: 10 - [2 * 3]. Teraz rozwiązujemy nawias kwadratowy: 2 * 3 to 6. Zostaje nam 10 - 6, czyli 4. Widzisz? Krok po kroku.

Potęgi i pierwiastki – szara eminencja

Gdy już uporamy się z nawiasami, rozglądamy się za potęgami i pierwiastkami. To one są następne w kolejce. Mają ten sam priorytet, więc jeśli w działaniu jest i jedno i drugie, to po prostu jedziemy od lewej strony. Nie ma tu filozofii. To po prostu kolejny etap w stosowaniu zasad kolejności wykonywania działań.

• Na przykład: 5 + 3^2. Najpierw potęga. 3^2 to 9. Dopiero teraz dodajemy: 5 + 9 = 14.
• Albo: sqrt(9) * 4 (sqrt to pierwiastek). Pierwiastek z 9 to 3. Działanie zmienia się w 3 * 4, co daje 12.

Mnożenie i dzielenie – równorzędni partnerzy w zbrodni

To jest moment, w którym wykłada się najwięcej osób. Wiele osób myśli, że mnożenie jest jakoś ważniejsze od dzielenia. Błąd! To wielka pomyłka! One są na tym samym poziomie ważności. To znaczy, że wykonujemy je w takiej kolejności, w jakiej występują w działaniu, czytając od lewej do prawej. To jedna z tych rzeczy w zasadach kolejności wykonywania działań, która musi wejść w krew. Koniecznie.

Pamiętam, jak na tym poległem na klasówce. Było działanie 20 / 5 * 2. Ja, mądrala, policzyłem najpierw 5 * 2, bo mnożenie wydawało mi się „mocniejsze”. Wyszło mi 20 / 10 = 2. Oczywiście źle. Trzeba było lecieć po kolei: 20 / 5 to 4, i dopiero potem 4 * 2, co daje 8. Taka mała rzecz, a zaważyła na ocenie. Od tamtej pory pamiętam: mnożenie i dzielenie to równi goście.

Dodawanie i odejmowanie – cierpliwi maratończycy

I wreszcie, na szarym końcu, kiedy cały kurz bitewny już opadnie, do akcji wkraczają dodawanie i odejmowanie. Podobnie jak ich poprzednicy, są sobie równi. Nie ma, że dodawanie pierwsze. Lecimy od lewej do prawej, bez żadnych kombinacji. To ostatni, prosty krok. Jeśli doszedłeś do tego momentu, to już jesteś w domu. To zwieńczenie całego procesu i ostateczny test na znajomość zasad kolejności wykonywania działań.

Rozprawmy się z kilkoma potworami, krok po kroku

Teoria teorią, ale nic tak nie uczy jak praktyka. Weźmy na warsztat kilka bardziej pokręconych przykładów i rozłóżmy je na czynniki pierwsze. Zobaczysz, że trzymając się tych czterech kroków, nawet najgorszy matematyczny potwór da się oswoić. Kluczem jest metodyczne podejście i konsekwentne stosowanie zasad kolejności wykonywania działań.

Przykład 1: 18 / 3 * (5 - 2)^2 + 4

1. Krok pierwszy: Nawiasy! W środku mamy 5 - 2, co daje nam 3. Działanie wygląda teraz tak: 18 / 3 * 3^2 + 4.
2. Krok drugi: Potęgi. Widzimy 3^2, czyli 9. Super. Mamy już: 18 / 3 * 9 + 4.
3. Krok trzeci: Mnożenie i dzielenie od lewej. Pierwsze jest dzielenie: 18 / 3 to 6. Zostaje nam: 6 * 9 + 4. Teraz mnożenie: 6 * 9 to 54. Prawie koniec: 54 + 4.
4. Krok czwarty: Dodawanie. 54 + 4 = 58. I mamy to! Wynik to 58.

Przykład 2: [ (10 + 2) / 3 ] - sqrt(16) + 7 * 2

Ten wygląda straszniej przez te nawiasy kwadratowe, ale zasada jest ta sama. To wciąż te same zasady kolejności wykonywania działań.

1. Krok pierwszy: Nawiasy, od środka. Wewnętrzny nawias to 10 + 2, czyli 12. Działanie upraszcza się do: [ 12 / 3 ] - sqrt(16) + 7 * 2. Dalej jedziemy z nawiasem: 12 / 3 to 4. Super, zostało: 4 - sqrt(16) + 7 * 2.
2. Krok drugi: Pierwiastki. sqrt(16) to 4. Zapisujemy: 4 - 4 + 7 * 2.
3. Krok trzeci: Mnożenie. 7 * 2 to 14. Mamy już: 4 - 4 + 14.
4. Krok czwarty: Dodawanie i odejmowanie od lewej. Najpierw odejmowanie: 4 - 4 to 0. I na końcu 0 + 14, co daje 14. Wynik: 14.

Widzisz? To nie jest takie trudne. To jak składanie mebli z Ikei. Jeśli trzymasz się instrukcji, wszystko na końcu pasuje. A jeśli próbujesz po swojemu, zostajesz z garścią śrubek i krzywą szafką. Dlatego te zasady kolejności wykonywania działań są tak ważne.

Moje grzechy główne i jak z nimi walczyć

Przez lata nauki i pomagania innym, zauważyłem, że pewne błędy powtarzają się jak zdarta płyta. Sam je popełniałem. Świadomość tych pułapek to połowa sukcesu. Oto one:

• Liczenie na pałę od lewej do prawej. To grzech numer jeden. Widzisz 3 + 5 * 2 i od razu w głowie robisz 8 * 2 = 16. Musisz wytresować swój mózg, żeby najpierw skanował działanie w poszukiwaniu mnożenia, a dopiero potem wracał do dodawania.
• Zapominanie o równości mnożenia/dzielenia. Mój błąd z klasówki. Wbicie sobie do głowy, że te działania są równorzędne i robimy je po kolei, jest kluczowe. To fundamentalne dla zasad kolejności wykonywania działań.
• Ignorowanie nawiasów. Czasem są tak małe i niepozorne, że aż kusi, żeby je pominąć. Nigdy tego nie rób. Nawias to świętość.

A jak zapamiętać kolejność wykonywania działań, żeby nie zwariować? Oprócz wymyślania własnych zdań, można sobie zrobić małą ściągawkę i powiesić nad biurkiem. Naprawdę. Hierarchia: Nawiasy -> Potęgi/Pierwiastki -> Mnożenie/Dzielenie -> Dodawanie/Odejmowanie. Patrz na to tak często, aż wejdzie ci to w krew i stanie się drugą naturą. Regularne ćwiczenia kolejność wykonywania działań to jedyna droga do sukcesu.

Jak to wytłumaczyć dziecku, żeby nie zwariować? (I żeby ono nie znienawidziło matmy)

Jeśli samemu udało ci się to w końcu ogarnąć, to super. Ale teraz spróbuj to wytłumaczyć ośmiolatkowi. To dopiero wyzwanie. Suche regułki nie działają. Dzieci potrzebują obrazów, historyjek, czegoś, do czego mogą się odnieść. Kiedyś siedziałem z siostrzeńcem nad zadaniem domowym i czułem, jak obaj tracimy cierpliwość. Wtedy wpadłem na pomysł.

Opowiedziałem mu historię o Królestwie Liczb. Na samym szczycie zamku, w najwyższej wieży, mieszkają Król i Królowa (Nawiasy) – nikt nie może nic zrobić bez ich zgody. Poniżej mieszkają Książęta i Księżniczki (Potęgi i Pierwiastki) – też bardzo ważni. Na dziedzińcu trenują Rycerze i Łucznicy (Mnożenie i Dzielenie) – są silni, ale działają razem. A na samym dole krzątają się Słudzy (Dodawanie i Odejmowanie), którzy sprzątają, gdy wszyscy ważniejsi skończą już swoje sprawy. Ta historyjka nagle sprawiła, że kolejność wykonywania działań dla dzieci stała się logiczna i łatwa do zapamiętania. Dziecko musi zrozumieć, że zasady kolejności wykonywania działań to nie jest wymysł nauczyciela, żeby je dręczyć.

Można też rysować. Zróbcie wielki plakat z tą hierarchią, użyjcie kolorów, naklejek. Grajcie w gry. Przygotuj karty z liczbami i znakami, niech dziecko losuje i układa działania, a potem wspólnie je rozwiązujecie, głośno tłumacząc każdy krok. Zróbcie z tego zabawę, a nie przykry obowiązek. To najlepszy sposób, by solidne podstawy matematyki weszły do głowy naturalnie. Cierpliwość jest tu kluczowa, bo te zasady kolejności wykonywania działań muszą się po prostu utrwalić.

Czas zakasać rękawy. Sprawdź się!

Praktyka czyni mistrza. Poniżej znajdziesz kilka zadań. Nie spiesz się. Weź kartkę, długopis i rozpisz każde działanie krok po kroku, tak jak pokazywałem. To najlepszy sposób na utrwalenie wiedzy. Te ćwiczenia kolejność wykonywania działań pomogą ci poczuć się pewniej.

Poziom podstawowy:

1. 7 + 3 * 2
2. 15 / 5 - 1
3. 4 * (2 + 3)

Poziom średniozaawansowany:

1. 3^2 + 4 * 2 - 1
2. 18 - 6 / 2 + 3^2
3. sqrt(36) + 2^3 - 10

Poziom dla twardzieli:

1. [ (15 - 3) / 4 ]^2 + 5 * 2 - 1
2. 4 * ( (6 + 2) / 4 )^2 - sqrt(49)
3. 25 - [ ( 10 + 2 ) / 6 ] * 3^2 + sqrt(81)

Kiedy skończysz, sprawdź swoje wyniki. Jeśli coś poszło nie tak, wróć do tego zadania i przeanalizuj, gdzie popełniłeś błąd. Czy zapomniałeś o nawiasie? A może pomyliłeś kolejność mnożenia i dzielenia? Taka analiza jest więcej warta niż dziesięć poprawnie rozwiązanych zadań. W internecie znajdziesz też mnóstwo narzędzi. Strony takie jak Khan Academy czy Epodreczniki.pl oferują całą masę interaktywnych ćwiczeń, które pomogą ci szlifować te umiejętności.

To nie czarna magia. Dasz radę!

Opanowanie zasad kolejności wykonywania działań to nie jest jakaś tajemna wiedza dostępna tylko dla wybranych. To umiejętność jak każda inna, jak jazda na rowerze czy wiązanie butów. Na początku wydaje się skomplikowana, ale po kilku próbach wchodzi w krew i robisz to automatycznie. To fundament, na którym stoi cała dalsza edukacja matematyczna. Bez tego ani rusz z algebrą, funkcjami czy czymkolwiek bardziej zaawansowanym.

Ale to nie tylko szkoła. Ta umiejętność przydaje się w życiu. Przy planowaniu domowego budżetu, przy liczeniu kalorii (tak, nawet tutaj przydają się wzory, np. na stronie naturoda.eu można znaleźć różne kalkulatory), przy prostych obliczeniach w sklepie. To uczy logicznego, uporządkowanego myślenia. Pokazuje, że do rozwiązania problemu trzeba podejść metodycznie, krok po kroku.

Mam nadzieję, że po przeczytaniu tego tekstu czujesz się trochę pewniej. Że te wszystkie nawiasy i potęgi już tak nie straszą. Pamiętaj, kluczem jest zrozumienie prostej hierarchii i mnóstwo, mnóstwo praktyki. Nie poddawaj się po pierwszej porażce. Każdy błąd to lekcja. A kiedy w końcu rozwiążesz długie, skomplikowane działanie i twój wynik będzie poprawny… satysfakcja jest ogromna. Wtedy zrozumiesz, że te całe zasady kolejności wykonywania działań to nie wróg, a najlepszy przyjaciel w świecie liczb. Powodzenia!